علومي
Would you like to react to this message? Create an account in a few clicks or log in to continue.

المعادلات التفاضليه

Go down

المعادلات التفاضليه Empty المعادلات التفاضليه

Post by evergreen Fri Feb 19, 2010 5:41 pm

السلام عليكم
المعـــــــــــادلات التفاضليه الخطيه
1-1 المعادلات التامه
تعريف
تسمى المعادله

المعادلات التفاضليه Olom

والتي يمكن وضع طرفها الايسر على شكل تفاضل تام لداله F اي على الشكل

المعادلات التفاضليه Olom

بالمعادله التفاضليه التامه
فمثلا يمكن وضع

المعادلات التفاضليه Olom

على الشكل F=xy فيصبح

المعادلات التفاضليه Olom

الان نبدأ بالكلام الجاد
نظريه
اذا كانت

المعادلات التفاضليه Olom

دوالا
متصله على مستطيل مفتوح R في المستوى xy -للاستزاده عن مسالة اختيار
المستطيل يستحسن مراجعة نظرية الوجود والوحدانيه في نظرية المعادلات
التفاضليه-
فان الشرط الضروري والكافي لتكون المعادله التفاضليه

المعادلات التفاضليه Olom

معادلة تامه هو ان تتحقق المساواة

المعادلات التفاضليه Olom.cgi?%5CLarge%5Cfrac%7B%5Cpartial%20M%7D%7B%5Cpartial%20y%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20N%7D%7B%5Cpartial%20x%7D,,%20all%20%28x,y%29%5Ceps%20R....

البرهان:
اولا البرهان يجب ان يبرهن على اتجاهين الاول نفرض ان التفاضل تام ونثبت المساواه 1
والاخر نفرض ان المساواه 1 محققه زنثبت ان التفاضل تام
نحن راح نبرهن الاتجاه الاول
الشرط الضروري : اذا كان المقدار في الطرف الايسر تفاضلا تاما لداله F, فإن

المعادلات التفاضليه Olom

وبمطابقة الطرفين وهذا على افتراض ان القاريء يعرف كيف يفاضل جزئيا نحصل على


المعادلات التفاضليه Olom

الان نشتق المعادله الاولى بالنسبه لـy والثانيه بالنسبه لـ x
مباشره نحصل على

المعادلات التفاضليه Olom


وبسبب اتصال هذين المقدارين نحصل على المساواة

المعادلات التفاضليه Olom

الظاهر الان البرهان واضح تماما
بالنسبه للاتجاه الاخر

الشرط الكاف لنفرض ان شروط النظريه محققه وان الشرط 1 محقق ولنثبت الان ان المعادله

المعادلات التفاضليه Olom

لتكن جاما داله بمتغيرين تحقق المساواه

المعادلات التفاضليه Olom

ولتكن النقطه (a,b) نقطه ثابته تنتمي للمستطيل R وان الداله جاما تنتج من تكامل M بالنسبه لـ x
ولنحددها بالشكل

المعادلات التفاضليه Olom

لنشتق طرفي المساواه بالنسبه للمتغير y فنجد

المعادلات التفاضليه Olom

وحسب الشرط المساواه بالنظريه فان


المعادلات التفاضليه Olom



لنفرض الان فرض وهو غامض قليلا لكن سوف نتكلم عنه لاحقا


المعادلات التفاضليه Olom



وهذا هو بالظبط الذي يمدنا بالحل العام
لنفاضل الان تفاضل تاما فنحصل على


المعادلات التفاضليه Olom

الان نستفيد من جميع المعادلات بالاعلى ونحصل على

المعادلات التفاضليه Olom

وهذا يثبت المطلوب


الان نقدم الحل العام للمعادله التفاضليه


المعادلات التفاضليه Olom

لاحظ
ان a,b هي ثوابت اختياريه تنتمي لمجال الدوال نختارها كيف نشاء اما
المتغيرات هذه فامرها بسيط مجرد ناخذ المثال تتبين طريقة الحل
مثال
حل المعادله التفاضليه

المعادلات التفاضليه Olom

الحل
من الملاحظ ان

المعادلات التفاضليه Olom

الان نشتق على حسب ماتعلمنا بالاعلى والاشتقاق جزئي يعني اذا اشتقينا بالنسبه للمتغير اكس نهمل باقي المتغيرات ونعتبرها ثوابت

المعادلات التفاضليه Olom

وواضح
جدا المساواه وهذا يبشر خيرا بان المعادله تامه والان نجري التكامل
بالصيغه العامه او بالتجميع لكن الان ناخذ الصيغه العامه وسوف اعين
الثوابت كالتالي
a=0,b=0
حل هذه المعادله يتم كالاتي

المعادلات التفاضليه Olom

لاحظ
اننا استخدمنا التعبيرات في التكامل الاول بدلا x=t , واهملنا حدود
التكامل السفليه لاننا بالاخير سنجعلها ثابت ككل اما التكامل الثاني
عوضنا عن y=s اما باقي المتغيرات وهي في هذه الحاله عبرنا عنها بالثابت a
وهو يساوي الصفر بناء على اختيارنا
اما سبب هذه القصه كامله فهو كلام
شوي يحتاج الى تفسير مع البرهان الذي ربما اكتبه اذا توفرت لنا الرؤيه
كامله مع انها ليست مشكله كبيره

الان بعد اجراء التكامل والتعويض عن الحدود والتكامل سهل والتعويض اسهل فيكون حل المعادله التفاضليه هو

المعادلات التفاضليه Olom

حيث الطرف الايمن ثابت اختياري
evergreen
evergreen

الجنس : Female

عدد المساهمات : 1497
النقاط : 59518
التقييم : 34
تاريخ التسجيل : 2010-02-03

https://3loomi.forumotion.com

Back to top Go down

المعادلات التفاضليه Empty Re: المعادلات التفاضليه

Post by evergreen Fri Feb 19, 2010 5:43 pm

السلام عليك
في طريقه اخرى
هذه الطريقه اسهل وقد تفيد بحالات اخرى
بالمثال بالاعلى نفك الاقواس لنحصل على التالي

المعادلات التفاضليه Olom

الان سوف نحول هذه الداله الى تفاضلات بالشكل

المعادلات التفاضليه Olom

الان نحولها الى تفاضل تام

[img]http://olom.info/cgi-bin/olom.cgi?%5CLarge%20d[%28x%5E3%20y%29-%283x%5E2%29+%28y%5E2%29]=0[/img]

فيكون الحل هو

المعادلات التفاضليه Olom

وهو نفس الحل بالاعلى
اتمنى ان اكون قدمت مايفيد وشكرا لكم جميعا
وجميل جدا ان يحل الانسان مساله تفاضليه
evergreen
evergreen

الجنس : Female

عدد المساهمات : 1497
النقاط : 59518
التقييم : 34
تاريخ التسجيل : 2010-02-03

https://3loomi.forumotion.com

Back to top Go down

المعادلات التفاضليه Empty Re: المعادلات التفاضليه

Post by evergreen Fri Feb 19, 2010 5:44 pm


2-عامل التكميل integral factors
افرض ان لدينا معادله تفاضليه على الشكل

المعادلات التفاضليه Olom

غير تامه اي ان المشتقات الجزئيه غير متساويه

المعادلات التفاضليه Olom

اي ان هذه المعادله غير متحققه
نريد الان البحث عن داله في متغيرين
بحيث عند ضربها في المعادله الاولي في هذا المقال تكون معادله تامه وتتساوى المشتقات الجزئيه اي تكون

المعادلات التفاضليه Olom

تامه اي تحقق

المعادلات التفاضليه Olom

بعد اجراء التفاضل نحصل على

المعادلات التفاضليه Olom

لكن هذه معادله تفاضليه جزئيه من الصعب حلها وهذا خارج نطاق موضوعنا ونسميها المعادله الاولى
الان سنعالج حالات خاصه

الحاله الاولى عندما تكون الداله بيتا داله في متغير واحد وهو x يكون لدينا

المعادلات التفاضليه Olom

اي ان

المعادلات التفاضليه Olom

الان بعد التعويض في المعادله الاولى نحصل على واجراء ما امكن من الترتيبات


المعادلات التفاضليه Olom

لاحظ ان

المعادلات التفاضليه Olom

اذا كانت تتبع متغير واحد x فاننا نسميها

المعادلات التفاضليه Olom

الان تصبح المعادله على الشكل

المعادلات التفاضليه Olom

نكاملها فنحصل على

المعادلات التفاضليه Olom

المعادلات التفاضليه Olom


وهذا يسمى بمعامل التكامل الذي اذا ضرب بالمعادله الغير تامه تحولت بقدرة قادر الى تامه
اما الحاله الثانيه اذا كانت تتبع الداله المتغير y فاننا ناخذ نفس معامل التكامل ولكن قبله اشارة سالب
evergreen
evergreen

الجنس : Female

عدد المساهمات : 1497
النقاط : 59518
التقييم : 34
تاريخ التسجيل : 2010-02-03

https://3loomi.forumotion.com

Back to top Go down

المعادلات التفاضليه Empty Re: المعادلات التفاضليه

Post by evergreen Fri Feb 19, 2010 5:45 pm

مثال

جد الحل العام للمعادله

المعادلات التفاضليه Olom

الحل
المعادلات التفاضليه Olom
هذا يدل انهما غير متساويين الان نلجاء الى الطريقه التكميليه

المعادلات التفاضليه Olom

الان نضربها بمقلوب N

المعادلات التفاضليه Olom

اذا عامل التكميل واضح نجري الان التكامل

المعادلات التفاضليه Olom

هذا هز عامل التكميل ونضربه بالمعادله بالسؤال جميعا
فنحصل على

المعادلات التفاضليه Olom

الان نجمعها -يعني الحل بطريقة التجميع- ولاحظ انها تماما وتاكد بنفسك عزيزي القاريء
بعد التجميع تصبح

المعادلات التفاضليه Olom

ثم تصبح على الشكل

المعادلات التفاضليه Olom

ومن هذا الحل يكون

المعادلات التفاضليه Olom

حيث c ثابت اختياري
لاحظ
انه لو حليت المساله بالصيغه قد تختلف قيم الثوابت او تحصل على ارقام مع
المعادله ثم يقول القاريء الفطن اننا سبق ان قلنا ان نظرية الوجود
والوحدانيه تنص انه يوجل حل وحيد
لكن مسالة الارقام التي قد تختلف بين الحلول مساله بسيطه مجرد اضافتها الى الثابت الرئيسي
وتنتهي المشكله
اتمنى
ان يحوز الموضوع على رضاكم وان شاء الله راح نضيف له كل وقت موضوع جديد
لكي نحصل بالنهايه على مرجع طيب عن المعادلات التفاضليه وكذلك قد اتعرض في
المقالات القادمه الى مسائل ابسط وهي المعادلات القابله للفصل والمعادلات
المتجانسه
evergreen
evergreen

الجنس : Female

عدد المساهمات : 1497
النقاط : 59518
التقييم : 34
تاريخ التسجيل : 2010-02-03

https://3loomi.forumotion.com

Back to top Go down

المعادلات التفاضليه Empty Re: المعادلات التفاضليه

Post by evergreen Fri Feb 19, 2010 5:46 pm

بالاعلى هناك معادله امامها رمز وهي غير واضحه
لكن هي بالاصل معادلتين لكن لم استطع تغييرها
والان نكتبهم ووباقي الحل سليم جدا

المعادلات التفاضليه Olom

والاخرى

المعادلات التفاضليه Olom

كذلك هناك معادله غير واضحه وهي المعادله الجزئيه التي ذكرت عنها انها صعبة الحل وهي على الشكل

المعادلات التفاضليه Olom
evergreen
evergreen

الجنس : Female

عدد المساهمات : 1497
النقاط : 59518
التقييم : 34
تاريخ التسجيل : 2010-02-03

https://3loomi.forumotion.com

Back to top Go down

المعادلات التفاضليه Empty Re: المعادلات التفاضليه

Post by evergreen Fri Feb 19, 2010 5:46 pm


3-المعادلات التفاضليه المتجانسه
اليوم سوف نتكلم عن موضوع بسيط جدا في المعادلات التفاضليه وهي تلك المعادلات الغير قابله للفصل ولكن نستطيع اجراء تغيير فيها
تعريف
تسمى المعادله التفاضليه

المعادلات التفاضليه Olom

بالمعادله المتجانسه اذا امكن التعبير عن f بمتغير واحد على صورة داله F بعد التعويض


المعادلات التفاضليه Olom

وتكون بالشكل

المعادلات التفاضليه Olom

**حل المعادله التفاضليه
من العلاقه y=xv نجد ان بعد الاشتقاق للمتغير x

المعادلات التفاضليه Olom

بالتعويض بهذه القيم في المعادله نحصل على

المعادلات التفاضليه Olom

وبعد اجراء المسموح

المعادلات التفاضليه Olom

الان كل ماعلينا هو اجراء التكامل لكن نتكلم عن معادلات رتبه اولى
مثال
حل المعادله التفاضليه

المعادلات التفاضليه Olom

تكتب المعادله على الشكل

المعادلات التفاضليه Olom


الان نحولها الى الشكل العام بتبديل المؤثرات

المعادلات التفاضليه Olom

المعادلات التفاضليه Olom

نجري التكامل ونحصل على

المعادلات التفاضليه Olom

بعد اجراء الممكن من الاختصارات نحصل على الحل

المعادلات التفاضليه Olom

هذا الحل كافي ويمكن ان تختصر الداله اللوغاريتميه كذلك
امل ان يكون الموضوع قد حاز على اعجابكم
evergreen
evergreen

الجنس : Female

عدد المساهمات : 1497
النقاط : 59518
التقييم : 34
تاريخ التسجيل : 2010-02-03

https://3loomi.forumotion.com

Back to top Go down

المعادلات التفاضليه Empty Re: المعادلات التفاضليه

Post by Sponsored content


Sponsored content


Back to top Go down

Back to top


 
Permissions in this forum:
You cannot reply to topics in this forum