المعادلات التفاضليه
المعادلات التفاضليه
السلام عليكم
المعـــــــــــادلات التفاضليه الخطيه
1-1 المعادلات التامه
تعريف
تسمى المعادله
والتي يمكن وضع طرفها الايسر على شكل تفاضل تام لداله F اي على الشكل
بالمعادله التفاضليه التامه
فمثلا يمكن وضع
على الشكل F=xy فيصبح
الان نبدأ بالكلام الجاد
نظريه
اذا كانت
دوالا
متصله على مستطيل مفتوح R في المستوى xy -للاستزاده عن مسالة اختيار
المستطيل يستحسن مراجعة نظرية الوجود والوحدانيه في نظرية المعادلات
التفاضليه-
فان الشرط الضروري والكافي لتكون المعادله التفاضليه
معادلة تامه هو ان تتحقق المساواة
البرهان:
اولا البرهان يجب ان يبرهن على اتجاهين الاول نفرض ان التفاضل تام ونثبت المساواه 1
والاخر نفرض ان المساواه 1 محققه زنثبت ان التفاضل تام
نحن راح نبرهن الاتجاه الاول
الشرط الضروري : اذا كان المقدار في الطرف الايسر تفاضلا تاما لداله F, فإن
وبمطابقة الطرفين وهذا على افتراض ان القاريء يعرف كيف يفاضل جزئيا نحصل على
الان نشتق المعادله الاولى بالنسبه لـy والثانيه بالنسبه لـ x
مباشره نحصل على
وبسبب اتصال هذين المقدارين نحصل على المساواة
الظاهر الان البرهان واضح تماما
بالنسبه للاتجاه الاخر
الشرط الكاف لنفرض ان شروط النظريه محققه وان الشرط 1 محقق ولنثبت الان ان المعادله
لتكن جاما داله بمتغيرين تحقق المساواه
ولتكن النقطه (a,b) نقطه ثابته تنتمي للمستطيل R وان الداله جاما تنتج من تكامل M بالنسبه لـ x
ولنحددها بالشكل
لنشتق طرفي المساواه بالنسبه للمتغير y فنجد
وحسب الشرط المساواه بالنظريه فان
لنفرض الان فرض وهو غامض قليلا لكن سوف نتكلم عنه لاحقا
وهذا هو بالظبط الذي يمدنا بالحل العام
لنفاضل الان تفاضل تاما فنحصل على
الان نستفيد من جميع المعادلات بالاعلى ونحصل على
وهذا يثبت المطلوب
الان نقدم الحل العام للمعادله التفاضليه
لاحظ
ان a,b هي ثوابت اختياريه تنتمي لمجال الدوال نختارها كيف نشاء اما
المتغيرات هذه فامرها بسيط مجرد ناخذ المثال تتبين طريقة الحل
مثال
حل المعادله التفاضليه
الحل
من الملاحظ ان
الان نشتق على حسب ماتعلمنا بالاعلى والاشتقاق جزئي يعني اذا اشتقينا بالنسبه للمتغير اكس نهمل باقي المتغيرات ونعتبرها ثوابت
وواضح
جدا المساواه وهذا يبشر خيرا بان المعادله تامه والان نجري التكامل
بالصيغه العامه او بالتجميع لكن الان ناخذ الصيغه العامه وسوف اعين
الثوابت كالتالي
a=0,b=0
حل هذه المعادله يتم كالاتي
لاحظ
اننا استخدمنا التعبيرات في التكامل الاول بدلا x=t , واهملنا حدود
التكامل السفليه لاننا بالاخير سنجعلها ثابت ككل اما التكامل الثاني
عوضنا عن y=s اما باقي المتغيرات وهي في هذه الحاله عبرنا عنها بالثابت a
وهو يساوي الصفر بناء على اختيارنا
اما سبب هذه القصه كامله فهو كلام
شوي يحتاج الى تفسير مع البرهان الذي ربما اكتبه اذا توفرت لنا الرؤيه
كامله مع انها ليست مشكله كبيره
الان بعد اجراء التكامل والتعويض عن الحدود والتكامل سهل والتعويض اسهل فيكون حل المعادله التفاضليه هو
حيث الطرف الايمن ثابت اختياري
المعـــــــــــادلات التفاضليه الخطيه
1-1 المعادلات التامه
تعريف
تسمى المعادله
والتي يمكن وضع طرفها الايسر على شكل تفاضل تام لداله F اي على الشكل
بالمعادله التفاضليه التامه
فمثلا يمكن وضع
على الشكل F=xy فيصبح
الان نبدأ بالكلام الجاد
نظريه
اذا كانت
دوالا
متصله على مستطيل مفتوح R في المستوى xy -للاستزاده عن مسالة اختيار
المستطيل يستحسن مراجعة نظرية الوجود والوحدانيه في نظرية المعادلات
التفاضليه-
فان الشرط الضروري والكافي لتكون المعادله التفاضليه
معادلة تامه هو ان تتحقق المساواة
البرهان:
اولا البرهان يجب ان يبرهن على اتجاهين الاول نفرض ان التفاضل تام ونثبت المساواه 1
والاخر نفرض ان المساواه 1 محققه زنثبت ان التفاضل تام
نحن راح نبرهن الاتجاه الاول
الشرط الضروري : اذا كان المقدار في الطرف الايسر تفاضلا تاما لداله F, فإن
وبمطابقة الطرفين وهذا على افتراض ان القاريء يعرف كيف يفاضل جزئيا نحصل على
الان نشتق المعادله الاولى بالنسبه لـy والثانيه بالنسبه لـ x
مباشره نحصل على
وبسبب اتصال هذين المقدارين نحصل على المساواة
الظاهر الان البرهان واضح تماما
بالنسبه للاتجاه الاخر
الشرط الكاف لنفرض ان شروط النظريه محققه وان الشرط 1 محقق ولنثبت الان ان المعادله
لتكن جاما داله بمتغيرين تحقق المساواه
ولتكن النقطه (a,b) نقطه ثابته تنتمي للمستطيل R وان الداله جاما تنتج من تكامل M بالنسبه لـ x
ولنحددها بالشكل
لنشتق طرفي المساواه بالنسبه للمتغير y فنجد
وحسب الشرط المساواه بالنظريه فان
لنفرض الان فرض وهو غامض قليلا لكن سوف نتكلم عنه لاحقا
وهذا هو بالظبط الذي يمدنا بالحل العام
لنفاضل الان تفاضل تاما فنحصل على
الان نستفيد من جميع المعادلات بالاعلى ونحصل على
وهذا يثبت المطلوب
الان نقدم الحل العام للمعادله التفاضليه
لاحظ
ان a,b هي ثوابت اختياريه تنتمي لمجال الدوال نختارها كيف نشاء اما
المتغيرات هذه فامرها بسيط مجرد ناخذ المثال تتبين طريقة الحل
مثال
حل المعادله التفاضليه
الحل
من الملاحظ ان
الان نشتق على حسب ماتعلمنا بالاعلى والاشتقاق جزئي يعني اذا اشتقينا بالنسبه للمتغير اكس نهمل باقي المتغيرات ونعتبرها ثوابت
وواضح
جدا المساواه وهذا يبشر خيرا بان المعادله تامه والان نجري التكامل
بالصيغه العامه او بالتجميع لكن الان ناخذ الصيغه العامه وسوف اعين
الثوابت كالتالي
a=0,b=0
حل هذه المعادله يتم كالاتي
لاحظ
اننا استخدمنا التعبيرات في التكامل الاول بدلا x=t , واهملنا حدود
التكامل السفليه لاننا بالاخير سنجعلها ثابت ككل اما التكامل الثاني
عوضنا عن y=s اما باقي المتغيرات وهي في هذه الحاله عبرنا عنها بالثابت a
وهو يساوي الصفر بناء على اختيارنا
اما سبب هذه القصه كامله فهو كلام
شوي يحتاج الى تفسير مع البرهان الذي ربما اكتبه اذا توفرت لنا الرؤيه
كامله مع انها ليست مشكله كبيره
الان بعد اجراء التكامل والتعويض عن الحدود والتكامل سهل والتعويض اسهل فيكون حل المعادله التفاضليه هو
حيث الطرف الايمن ثابت اختياري
Re: المعادلات التفاضليه
السلام عليك
في طريقه اخرى
هذه الطريقه اسهل وقد تفيد بحالات اخرى
بالمثال بالاعلى نفك الاقواس لنحصل على التالي
الان سوف نحول هذه الداله الى تفاضلات بالشكل
الان نحولها الى تفاضل تام
[img]http://olom.info/cgi-bin/olom.cgi?%5CLarge%20d[%28x%5E3%20y%29-%283x%5E2%29+%28y%5E2%29]=0[/img]
فيكون الحل هو
وهو نفس الحل بالاعلى
اتمنى ان اكون قدمت مايفيد وشكرا لكم جميعا
وجميل جدا ان يحل الانسان مساله تفاضليه
في طريقه اخرى
هذه الطريقه اسهل وقد تفيد بحالات اخرى
بالمثال بالاعلى نفك الاقواس لنحصل على التالي
الان سوف نحول هذه الداله الى تفاضلات بالشكل
الان نحولها الى تفاضل تام
[img]http://olom.info/cgi-bin/olom.cgi?%5CLarge%20d[%28x%5E3%20y%29-%283x%5E2%29+%28y%5E2%29]=0[/img]
فيكون الحل هو
وهو نفس الحل بالاعلى
اتمنى ان اكون قدمت مايفيد وشكرا لكم جميعا
وجميل جدا ان يحل الانسان مساله تفاضليه
Re: المعادلات التفاضليه
2-عامل التكميل integral factors
افرض ان لدينا معادله تفاضليه على الشكل
غير تامه اي ان المشتقات الجزئيه غير متساويه
اي ان هذه المعادله غير متحققه
نريد الان البحث عن داله في متغيرين
بحيث عند ضربها في المعادله الاولي في هذا المقال تكون معادله تامه وتتساوى المشتقات الجزئيه اي تكون
تامه اي تحقق
بعد اجراء التفاضل نحصل على
لكن هذه معادله تفاضليه جزئيه من الصعب حلها وهذا خارج نطاق موضوعنا ونسميها المعادله الاولى
الان سنعالج حالات خاصه
الحاله الاولى عندما تكون الداله بيتا داله في متغير واحد وهو x يكون لدينا
اي ان
الان بعد التعويض في المعادله الاولى نحصل على واجراء ما امكن من الترتيبات
لاحظ ان
اذا كانت تتبع متغير واحد x فاننا نسميها
الان تصبح المعادله على الشكل
نكاملها فنحصل على
وهذا يسمى بمعامل التكامل الذي اذا ضرب بالمعادله الغير تامه تحولت بقدرة قادر الى تامه
اما الحاله الثانيه اذا كانت تتبع الداله المتغير y فاننا ناخذ نفس معامل التكامل ولكن قبله اشارة سالب
Re: المعادلات التفاضليه
مثال
جد الحل العام للمعادله
الحل
هذا يدل انهما غير متساويين الان نلجاء الى الطريقه التكميليه
الان نضربها بمقلوب N
اذا عامل التكميل واضح نجري الان التكامل
هذا هز عامل التكميل ونضربه بالمعادله بالسؤال جميعا
فنحصل على
الان نجمعها -يعني الحل بطريقة التجميع- ولاحظ انها تماما وتاكد بنفسك عزيزي القاريء
بعد التجميع تصبح
ثم تصبح على الشكل
ومن هذا الحل يكون
حيث c ثابت اختياري
لاحظ
انه لو حليت المساله بالصيغه قد تختلف قيم الثوابت او تحصل على ارقام مع
المعادله ثم يقول القاريء الفطن اننا سبق ان قلنا ان نظرية الوجود
والوحدانيه تنص انه يوجل حل وحيد
لكن مسالة الارقام التي قد تختلف بين الحلول مساله بسيطه مجرد اضافتها الى الثابت الرئيسي
وتنتهي المشكله
اتمنى
ان يحوز الموضوع على رضاكم وان شاء الله راح نضيف له كل وقت موضوع جديد
لكي نحصل بالنهايه على مرجع طيب عن المعادلات التفاضليه وكذلك قد اتعرض في
المقالات القادمه الى مسائل ابسط وهي المعادلات القابله للفصل والمعادلات
المتجانسه
جد الحل العام للمعادله
الحل
هذا يدل انهما غير متساويين الان نلجاء الى الطريقه التكميليه
الان نضربها بمقلوب N
اذا عامل التكميل واضح نجري الان التكامل
هذا هز عامل التكميل ونضربه بالمعادله بالسؤال جميعا
فنحصل على
الان نجمعها -يعني الحل بطريقة التجميع- ولاحظ انها تماما وتاكد بنفسك عزيزي القاريء
بعد التجميع تصبح
ثم تصبح على الشكل
ومن هذا الحل يكون
حيث c ثابت اختياري
لاحظ
انه لو حليت المساله بالصيغه قد تختلف قيم الثوابت او تحصل على ارقام مع
المعادله ثم يقول القاريء الفطن اننا سبق ان قلنا ان نظرية الوجود
والوحدانيه تنص انه يوجل حل وحيد
لكن مسالة الارقام التي قد تختلف بين الحلول مساله بسيطه مجرد اضافتها الى الثابت الرئيسي
وتنتهي المشكله
اتمنى
ان يحوز الموضوع على رضاكم وان شاء الله راح نضيف له كل وقت موضوع جديد
لكي نحصل بالنهايه على مرجع طيب عن المعادلات التفاضليه وكذلك قد اتعرض في
المقالات القادمه الى مسائل ابسط وهي المعادلات القابله للفصل والمعادلات
المتجانسه
Re: المعادلات التفاضليه
بالاعلى هناك معادله امامها رمز وهي غير واضحه
لكن هي بالاصل معادلتين لكن لم استطع تغييرها
والان نكتبهم ووباقي الحل سليم جدا
والاخرى
كذلك هناك معادله غير واضحه وهي المعادله الجزئيه التي ذكرت عنها انها صعبة الحل وهي على الشكل
لكن هي بالاصل معادلتين لكن لم استطع تغييرها
والان نكتبهم ووباقي الحل سليم جدا
والاخرى
كذلك هناك معادله غير واضحه وهي المعادله الجزئيه التي ذكرت عنها انها صعبة الحل وهي على الشكل
Re: المعادلات التفاضليه
3-المعادلات التفاضليه المتجانسه
اليوم سوف نتكلم عن موضوع بسيط جدا في المعادلات التفاضليه وهي تلك المعادلات الغير قابله للفصل ولكن نستطيع اجراء تغيير فيها
تعريف
تسمى المعادله التفاضليه
بالمعادله المتجانسه اذا امكن التعبير عن f بمتغير واحد على صورة داله F بعد التعويض
وتكون بالشكل
**حل المعادله التفاضليه
من العلاقه y=xv نجد ان بعد الاشتقاق للمتغير x
بالتعويض بهذه القيم في المعادله نحصل على
وبعد اجراء المسموح
الان كل ماعلينا هو اجراء التكامل لكن نتكلم عن معادلات رتبه اولى
مثال
حل المعادله التفاضليه
تكتب المعادله على الشكل
الان نحولها الى الشكل العام بتبديل المؤثرات
نجري التكامل ونحصل على
بعد اجراء الممكن من الاختصارات نحصل على الحل
هذا الحل كافي ويمكن ان تختصر الداله اللوغاريتميه كذلك
امل ان يكون الموضوع قد حاز على اعجابكم
Permissions in this forum:
You cannot reply to topics in this forum
|
|